線形代数例

$[\begin{array}{c} a & - 2 b & 3 d \\ 4 a & b & - d \\ 2 a & - b & 3 d \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} | + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (b (3 d) - (- b (- d))) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (3 b d - (- b (- d))) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (3 b d - (- 1 \cdot - 1 b d)) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 2.2.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a (3 b d - (1 b d)) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 2.2.1.4

$b$ に $1$ をかけます。

$a (3 b d - b d) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 2.2.2

$3 b d$ から $b d$ を引きます。

$a (2 b d) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (2 b d) + 2 b (4 a (3 d) - 2 a (- d)) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 3.2

行列式を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (2 b d) + 2 b (4 \cdot 3 a d - 2 a (- d)) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2

$4$ に $3$ をかけます。

$a (2 b d) + 2 b (12 a d - 2 a (- d)) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 3.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (2 b d) + 2 b (12 a d - 2 \cdot - 1 a d) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 3.2.1.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$a (2 b d) + 2 b (12 a d + 2 a d) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 3.2.2

$12 a d$ と $2 a d$ をたし算します。

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (4 a (- b) - 2 a b)$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (4 \cdot - 1 a b - 2 a b)$

ステップ 4.2.1.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (- 4 a b - 2 a b)$

ステップ 4.2.2

$- 4 a b$ から $2 a b$ を引きます。

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (- 6 a b)$

ステップ 5

行列式を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 a b d + 2 b (14 a d) + 3 d (- 6 a b)$

ステップ 5.1.2

$14$ に $2$ をかけます。

$2 a b d + 28 b (a d) + 3 d (- 6 a b)$

ステップ 5.1.3

$- 6$ に $3$ をかけます。

$2 a b d + 28 b a d - 18 d a b$

ステップ 5.2

$2 a b d$ と $28 b a d$ をたし算します。

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ステップ 5.2.1

$b$ を移動させます。

$2 a b d + 28 a b d - 18 d a b$

ステップ 5.2.2

$2 a b d$ と $28 a b d$ をたし算します。

$30 a b d - 18 d a b$

ステップ 5.3

$30 a b d$ から $18 d a b$ を引きます。

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ステップ 5.3.1

$d$ を移動させます。

$30 a b d - 18 a b d$

ステップ 5.3.2

$30 a b d$ から $18 a b d$ を引きます。

$12 a b d$

線形代数 例

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